Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки
(нумерация задач выполнена по вариантам с 0 по 9):
7) На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?
Тема 2. Понятие случайного события.
Классическое определение вероятности события
7 вариант
Задача 1) Продано 120 билетов лотереи, из них 10 – выигрышные. Некто купил 2 билета. Найти вероятность того, что хотя бы один из его билетов окажется выигрышным.
Задача 2) В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что:
а) все девушки оценят этот подарок;
б) только одна девушка оценит этот подарок.
Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
7) Заключение сделки состоит из двух последовательных независимых этапов. Вероятность успешного прохождения первого этапа равна 0,9, второго этапа – 0,8. Найти вероятность того, что сделка будет заключена.
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
7) Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.
Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Лапласа.
7) Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,03. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) более двух.
Тема 6. Дискретная случайная величина (ДСВ). Функция и характеристики распределения ДСВ
Задан закон распределения ДСВ X (см. ниже варианты заданий).
Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).
7)
| xi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,06 | р | 0,12 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,03 |
y = x2 + 2
Тема 7. Непрерывная случайная величина (НСВ). Функция распределения и плотность вероятности НСВ
НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Mx и средним квадратичным отклонением σx. Найти для заданных значений Mx, σx, a, b (см. ниже таблицу вариантов):
- вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a < X < b);
- вероятность P(X < (a + b)/2);
- сформулировать «правило трёх сигм»;
- написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
- на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
- найти квантиль x0,7 и 20%-ю точку.
Варианты заданий по теме 7
| Вариант | Mx | σx | a | b |
| 7 | 26 | 3 | 23 | 27 |
Тема 8. Математическая статистика
l = 1, k = 5
Решение задачи 8.1.
Выборка X объёмом N = 100 измерений задана таблицей:
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| xi | 0,2 | 1,7 | 3,2 | 4,7 | 6,2 | 7,7 | 9,2 |
| mx | 5 | 13 | 26 | 24 | 19 | 10 | 3 |
где xi – результаты измерений, mx– частоты, с которыми встречаются значения xi.
Решение задачи 8.2.
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей:
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| i | yj
xi |
0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | |
| 1 | 0,2 | 2 | 3 | 5 | |||
| 2 | 1,7 | 3 | 8 | 2 | 13 | ||
| 3 | 3,2 | 9 | 17 | 26 | |||
| 4 | 4,7 | 15 | 9 | 24 | |||
| 5 | 6,2 | 9 | 10 | 19 | |||
| 6 | 7,7 | 3 | 6 | 1 | 10 | ||
| 7 | 9,2 | 1 | 2 | 3 | |||
| 5 | 20 | 46 | 26 | 3 | N = 100 | ||