Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки.
3) Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке 1000 наименований книг?
Тема 2. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события.
3 вариант
Задача 1) Автомат, изготавливающий однотипные детали, даёт в среднем 6% брака. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная.
Задача 2) В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них:
а) все книги имеют дефект обложки;
б) только одна книга имеет этот дефект.
Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
3) Из колоды в 36 карт вынимают 7 карт. Найти вероятность того, что среди них 4 дамы или 4 короля.
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно произведено на станке 3-го типа.
Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральные теоремы Лапласа.
В среднем 10% автомобилей, производимых заводом, имеют брак. Для контроля из партии автомобилей взяли 5 машин. Найти вероятность того, что среди них будет: а) 3 машины без брака; б) не более 3 машин без брака.
Тема 6. Дискретная случайная величина (ДСВ). Функция и характеристики распределения ДСВ
Задан закон распределения ДСВ X (см. ниже варианты заданий).
Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).
| xi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,42 | 0,23 | р | 0,10 | 0,06 | 0,03 | 0,01 |
y = –2x + 1
Тема 7. Непрерывная случайная величина (НСВ). Функция распределения и плотность вероятности НСВ
НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Mx и средним квадратичным отклонением σx. Найти для заданных значений Mx, σx, a, b (см. ниже таблицу вариантов):
- вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a < X < b);
- вероятность P(X < (a + b)/2);
- сформулировать «правило трёх сигм»;
- написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
- на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
- найти квантиль x0,7 и 20%-ю точку.
Варианты заданий по теме 7
| Вариант | Mx | σx | a | b |
| 3 | 16 | 2 | 15 | 18 |
Тема 8. Математическая статистика
Решение задачи 8.1.
l = 2, k = 4
Выборка X объёмом N = 100 измерений задана таблицей:
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| xi | 0,4 | 1,6 | 2,8 | 4 | 5,2 | 6,4 | 7,6 |
| 5 | 13 | 26 | 24 | 19 | 10 | 3 |
где xi – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения xi.
Решение задачи 8.2.
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей:
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| i | yj
xi |
1 | 1,8 | 2,6 | 3,4 | 4,2 | |
| 1 | 0,4 | 2 | 3 | 5 | |||
| 2 | 1,6 | 3 | 8 | 2 | 13 | ||
| 3 | 2,8 | 10 | 16 | 26 | |||
| 4 | 4 | 14 | 10 | 24 | |||
| 5 | 5,2 | 9 | 10 | 19 | |||
| 6 | 6,4 | 3 | 6 | 1 | 10 | ||
| 7 | 7,6 | 1 | 2 | 3 | |||
| 5 | 21 | 44 | 27 | 3 | N = 100 | ||