Контрольная работа по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” 0 вариант

Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

(нумерация задач выполнена по вариантам с 0 по 9):

• На катере пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трёх флажков, вывешенных в определённом порядке. Сколько различных сигналов может подать катер?

Тема 2. Понятие случайного события.

Классическое определение вероятности события

0 вариант

Задача 1) Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «книга», затем буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются одна за другой в некотором порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «книга».

Задача 2) Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:

а) только упаковки с товаром первого сорта;

б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.

Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

0) Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равны соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?

Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

0) Из изделий высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течении года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший телевизор собран из деталей высокого качества.

Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.

Локальная и интегральные теоремы Лапласа.

0) Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) 75 раз; б) от 75 до 84 раз; в) менее 75 раз; г) не менее 70 раз.

Тема 6. Дискретная случайная величина (ДСВ). Функция и характеристики распределения ДСВ

Задан закон распределения ДСВ X (см. ниже варианты заданий).

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).

Варианты заданий по теме 6:

0)

y=|x-1|

Тема 7. Непрерывная случайная величина (НСВ). Функция распределения и плотность вероятности НСВ

НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M_x и средним квадратичным отклонением σ_x. Найти для заданных значений M_x, σ_x, a, b (см. ниже таблицу вариантов):

• вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a < X < b);
• вероятность P(X < (a + b)/2);
• сформулировать «правило трёх сигм»;
• написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
• на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
• найти квантиль x_0,7 и 20%-ю точку.

Варианты заданий по теме 7

Тема 8. Математическая статистика

l = 5, k = 3

Решение задачи 8.1.

Выборка X объёмом N = 100 измерений задана таблицей:

где x_i – результаты измерений, mx – частоты, с которыми встречаются значения x_i.

Решение задачи 8.2.

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей: