Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки
(нумерация задач выполнена по вариантам с 0 по 9):
- На катере пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трёх флажков, вывешенных в определённом порядке. Сколько различных сигналов может подать катер?
Тема 2. Понятие случайного события.
Классическое определение вероятности события
0 вариант
Задача 1) Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «книга», затем буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются одна за другой в некотором порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «книга».
Задача 2) Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:
а) только упаковки с товаром первого сорта;
б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.
Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
0) Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равны соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
0) Из изделий высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течении года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший телевизор собран из деталей высокого качества.
Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Лапласа.
0) Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) 75 раз; б) от 75 до 84 раз; в) менее 75 раз; г) не менее 70 раз.
Тема 6. Дискретная случайная величина (ДСВ). Функция и характеристики распределения ДСВ
Задан закон распределения ДСВ X (см. ниже варианты заданий).
Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).
Варианты заданий по теме 6:
0)
| xi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,01 | p | 0,23 | 0,28 | 0,19 | 0,11 | 0,06 |
y=|x-1|
Тема 7. Непрерывная случайная величина (НСВ). Функция распределения и плотность вероятности НСВ
НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Mx и средним квадратичным отклонением σx. Найти для заданных значений Mx, σx, a, b (см. ниже таблицу вариантов):
- вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a < X < b);
- вероятность P(X < (a + b)/2);
- сформулировать «правило трёх сигм»;
- написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
- на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
- найти квантиль x0,7 и 20%-ю точку.
Варианты заданий по теме 7
| Вариант | Mx | σx | a | b |
| 0 | 10 | 1 | 8 | 14 |
Тема 8. Математическая статистика
l = 5, k = 3
Решение задачи 8.1.
Выборка X объёмом N = 100 измерений задана таблицей:
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| xi | 1 | 1.9 | 2.8 | 3.7 | 4.6 | 5.5 | 6.4 |
| mx | 5 | 13 | 28 | 22 | 19 | 10 | 3 |
где xi – результаты измерений, mx – частоты, с которыми встречаются значения xi.
Решение задачи 8.2.
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей:
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| i | yj
xi |
2,5 | 3,1 | 3,7 | 4,3 | 4,9 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | |||
| 2 | 1,9 | 3 | 8 | 2 | 13 | ||
| 3 | 2,8 | 13 | 15 | 28 | |||
| 4 | 3,7 | 11 | 11 | 22 | |||
| 5 | 4,6 | 9 | 10 | 19 | |||
| 6 | 5,5 | 3 | 6 | 1 | 10 | ||
| 7 | 6,4 | 1 | 2 | 3 | |||
| 5 | 24 | 40 | 28 | 3 | N = 100 | ||